En matemáticas, el producto cartesiano de dos conjuntos es una operación, que resulta en otro conjunto, cuyos elementos son todos los pares ordenados que pueden formarse tomando el primer elemento del par ordenado del
primer conjunto y el segundo elemento del par ordenado del segundo conjunto.
Por ejemplo, dados los conjuntos:
y
su producto cartesiano es:
que se representa:
El producto cartesiano recibe su nombre de René Descartes, cuya formulación de la geometría
analítica dio origen a este concepto.1
Definición:
Un par
ordenado es una colección de dos objetos
distinguidos como primero y segundo, y se denota
como (a, b), donde a es el
«primer elemento» y b el «segundo elemento». Dados dos conjuntos A y B, su producto
cartesiano es el conjunto de todos los pares ordenados que pueden formarse con
estos dos conjuntos:
El producto cartesiano de A y B es el
conjunto A × B cuyos elementos son los pares ordenados (a, b), donde a es un
elemento de A y b un
elemento de B:
|
Puede definirse entonces el cuadrado cartesiano de un
conjunto como A2 = A × A.
Ejemplo:
Números enteros
Sea el conjunto de los números enteros Z = {..., −2, −1, 0, +1, +2, ...}. El producto cartesiano de Z consigo mismo esZ2 = Z × Z =
{ (0,0), (0, +1), (0, −1), (0, +2), ..., (+1, 0), ... (−1, 0), ... }, es decir, el conjunto de los pares ordenados cuyas componentes son
enteros. Para representar los números enteros se utiliza la recta numérica, y para representar el conjunto Z2 se
utiliza un plano
cartesiano (en la imagen).
ALCANCE, RANGO, DOMINIO Y CODOMINIO.
Conforme con
estas definiciones y a la de producto cartesiano resulta evidente que toda
relación entre elementos de un conjunto A y otro B, es simplemente un
subconjunto de A x B.
Al conjunto A
se lo denomina alcance y al conjunto
B se lo llama rango.
Por otra parte
como una relación es un subconjunto de A x B, en general solo algunos elementos
de A estarán vinculados con algunos elementos de B. Es decir en A existirá un
subconjunto formado por elementos vinculados con algún elemento de B, este subconjunto
se denomina dominio de la relación;
ellos constituirán los primeros elementos de cada par. Del mismo modo no todos los elementos de B
estarán vinculados con los elementos de A; luego a este subconjunto de B se lo
denomina codominio de la relación;
ellos serán segundo elemento de cada par.
Es decir: D
Í A
y C Í B
El gráfico
ilustra estas definiciones.
Son ejemplos de
relaciones conocidas por el estudiante: la igualdad, la relación de menor
(<), la relación de mayor (>) entre números, el paralelismo (//), la
perpendicularidad entre rectas, la congruencia entre figuras del plano, etc.
FUNCIONES.
Cuando
se define una relación que a los elementos del alcance, le hace corresponder un único (o ningún) elemento del rango, en lugar de relación
hablamos de función. Esto significa
que un elemento del alcance no puede estar vinculado a dos
elementos distintos del rango, pero en cambio puede ocurrir que dos o mas
elementos del dominio estén vinculados a uno solo del rango, o bien que haya
elementos del alcance que no tienen vinculación con elementos del rango. El dominio recibe el nombre de conjunto de definición de la función. En
estos casos la notación que se utiliza es distinta de la que hemos utilizado
para las relaciones. Aquí se trata de identificar: el dominio, el rango, y la propiedad o ley que vincula
los elementos.
En
general llamamos X al dominio, Y al rango y f a la función o propiedad, y
expresamos:
f :
X à Y
Cuando
queremos identificar los elementos relacionados, anotamos:
y =
f(x)
Por
ejemplo, la relación "tiene por padre a", definida en un conjunto de
seres humanos determinado, es una función que a cada persona del conjunto, le
hace corresponder un único elemento del mismo conjunto (su padre). Por supuesto
puede haber varias personas con el mismo padre.
La x
es un símbolo que representa a los elementos de X y se denomina variable independiente. La y es otro
símbolo que representa a los elementos de Y vinculados con los del dominio, y
se denomina variable dependiente. La
f también es un símbolo que representa la
función considerada. En nuestras notaciones vamos a utilizar para las
variables, las últimas letras del abecedario castellano o algunas letras
griegas (u, v, w, x, y, z, a,
b, g, d, j, m,
...) y para las funciones letras como f, g, h, etc. o nombres específicos:
seno, coseno, tangente, logaritmo, etc.
En
matemática las funciones se expresan en general con fórmulas. Los tipos
particulares de funciones se estudiarán en el capítulo correspondiente.
Aplicaciones:
Cuando dada una función el dominio y el alcance son coincidentes, en lugar de
función hablamos de aplicación. Las
notaciones sin embargo no se modifican.
Transformaciones:
Cuando definimos una función donde el dominio y el rango son coincidentes, en
lugar de función hablamos de transformación.
APLICACIONES
INYECTIVAS, SOBREYECTIVAS Y BIYECTIVAS.
Aplicación
inyectiva:
Una función o aplicación se denomina inyectiva cuando a dos elementos
distintos del dominio les corresponde elementos distintos del rango.
Simbólicamente:
"
xÎX si
x1 ¹
x2 Þ f(x1) ¹ f(x2)
Aplicacion sobreyectiva: Una función o aplicación es sobreyectiva o suryectiva, cuando
todo elemento del rango tiene su correspondiente elemento en el dominio. En
símbolos:
" y Î Y, $ x Î X tal que y = f(x)
Aplicación biyectiva: Una función o
aplicación es biyectiva, cuando es inyectiva y sobreyectiva. Es decir las dos
expresiones simbólicas anteriores deben verificarse simultáneamente.
FUNCION INVERSA.
Dado
que toda función es una relación, es lógico preguntarse si la inversa de una
función es siempre una función.
De acuerdo con la definición:
f es
una función X à Y
cuando dado x Î X ,
existe y Î Y
tal que y = f(x) siendo y único.
Si
existe función inversa, los valores de Y deberán estar vinculados con un único
elemento de X, lo cual no siempre se verifica. Sin embargo si f es inyectiva,
existe función inversa f -1 :
Y à
X. Del mismo modo si la función f es biyectiva, también existirá función
inversa.
COMPOSICION DE
APLICACIONES.
Sea
f una función de X en Y; y g una función de Y en Z. Llamamos composición de f con g y escribimos g o f
(g a la izquierda de f), a la función que resulta de aplicar primero la
función f, y a cada una de los elementos de la imagen de f en Y, se le aplica
la función g.
Tendremos
así:
f : X à
Y /
para todo x Î
X, y = f(x) es único
y
g :
Y à Z /
para todo y Î Imagen
z = g(y) también es único. Luego se puede afirmar: g o f :
X à Z
/ para todo x
Î X
, z = g o f (x) es único.
Por
lo tanto, como dijimos antes es ésta una nueva función.
CORRESPONDENCIA
BIUNIVOCA.
Dados
dos conjuntos A y B, si es posible definir entre ellos una función o aplicación
biyectiva, decimos que existe una correspondencia
biunívoca y en tal caso los dos conjuntos son coordinables ( ~)
Decir
que dos conjuntos son coordinables significa que ambos tienen igual cantidad de elementos.
La
coordinabilidad entre conjuntos es una relación de equivalencia porque goza de
las propiedades reflexiva, simétrica y transitiva. En efecto:
a) A ~ A pues
podemos definir una aplicación biyectiva
haciendo x = x para todo x de A. Esta aplicación se
denomina identidad.
b)
Si A
~ B
existe una aplicación biyectiva entre ambos conjuntos. Sea f
esa aplicación. Luego podemos definir la aplicación f -1 : B à
A que es también biyectiva. Luego B ~ A .
c) Si
A ~ B
y B ~ C
existen por definición dos funciones
f y g
tales que f : A à B, siendo f
biyectiva y también g : B à
C es biyectiva. Por lo tanto podemos
definir g o
f que será biyectiva por lo
visto anteriormente, de modo que
g o f
: A à C.
En consecuencia A ~ C.
De
aquí resulta que la coordinabilidad define una partición en el conjunto de las partes de un conjunto dado. En cada
clase encontraremos todos los
subconjuntos que tienen igual cantidad de elementos.
Generalizando:
Caso finito:
Dado un número finito de conjuntos A1, A2, ..., An, su producto cartesiano se define como el conjunto de n-tuplas cuyo primer elemento está en A1, cuyo
segundo elemento está en A2, etc.
El producto cartesiano de un número finito de conjuntos A1, ..., An es el conjunto de las n-tuplas cuyo elemento k-ésimo
pertenece a Ak, para cada 1 ≤ k ≤ n:
|
Puede definirse entonces potencias cartesianas de orden superior a 2,
como A3 = A × A × A, etc. Dependiendo de la definición de n-tupla que se adopte, esta
generalización puede construirse a partir de la definición básica como:
o construcciones similares.
Caso infinito:
En el caso de una familia
de conjuntos arbitraria (posiblemente infinita), la manera de definir el producto cartesiano consiste en cambiar el
concepto de tupla por
otro más cómodo. Si la familia está indexada, una aplicación que recorra el conjunto índice es el objeto que distingue quién es la «entrada k-ésima»:
El producto cartesiano de una familia indexada de conjuntos F =
{Ai}i ∈ I es el
conjunto de las aplicaciones f : I → ∪Fcuyo dominio
es el conjunto índice I y sus imágenes son elementos de algún Ai; que cumplen que para cada i ∈ I se tiene f(i) ∈ Ai:
|
donde ∪F denota la unión de todos los Ai. Dado
un j ∈ I, la proyección sobre la coordenada j es la
aplicación:
En el caso de una familia finita de conjuntos {A1, ..., An} indexada por el conjunto In =
{1, ..., n}, según la definición de n-tupla que se adopte, o bien las aplicacionesf : In → ∪i Ai de la definición anterior son precisamente n-tuplas, o existe una
identificación natural entre ambos objetos; por lo que la definición anterior
puede considerarse como la más general.
Sin embargo, a diferencia del caso finito, la existencia de dichas
aplicaciones no está justificada por las hipótesis más básicas de la teoría de conjuntos. Estas
aplicaciones son de hecho funciones
de elección cuya existencia sólo puede
demostrarse en general si se asume el axioma
de elección. De hecho, la existencia de funciones
de elección (cuando todos los miembros de F son no
vacíos) es equivalente a dicho axioma.
Propiedades:
El conjunto
vacío actúa como el cero del producto cartesiano, pues no posee elementos para construir pares
ordenados:
Un producto cartesiano donde algún factor sea el conjunto vacío es vacío.
En particular:
|
El producto cartesiano de dos conjuntos no es conmutativo en general, salvo en casos muy especiales. Lo mismo ocurre con
la propiedad
asociativa.
En general:
|
Puesto que el producto cartesiano puede representarse como una tabla o un
plano cartesiano, es fácil ver que el cardinal del conjunto producto es el producto de los cardinales de cada
factor:
·
El producto
cartesiano de un número finito de conjuntos finitos es finito a su vez. En
particular, su cardinal es el producto de los cardinales de cada factor:
·
El producto
cartesiano de una familia de conjuntos no vacíos que incluya algún conjunto
infinito es infinito a su vez.
|
En teoría
de conjuntos, la fórmula anterior de cardinal del
producto cartesiano como producto de los cardinales de cada factor, sigue
siendo cierta utilizando cardinales infinitos.
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